نباید همدیگر را نقض کنند
نباید نتیجه هم باشند (حتی مفهومشان هم یکی نباشد )مثل عددی فرد تا مقسوم علیه عددی جالب است . عددی که مربع کامل باشد عددی جالب است :|
تنها راهی که داریم برای اینکه خط و نقطه ای که آقای اقلیدس گفته را بکشیم این است که اصول او را قبول کنیم .
چیز جالب : درست است که ما نمی توانیم نقطه و خطی را که اقلیدس گفته نمی توانیم بکشیم ولی می توانیم آن را بهتر بکشیم چون نقطه و خط فقط یکسری اصول اند
شما روی یک خط می توانید دو نقطه خیلی نزدیک بهم می کشید ولی باز هم بین این دو تا بی نهایت خط وجود دارد
ما نمی توانیم مثل دانه های تسبیح نقطه ها را کنار هم بذاریم چون باز هم نقطه بین نقطه ها وجود دارد
خط و نقطه فقط یک اصول هستند و ما می توانیم آن ها را هر چیزی تصور کنیم
اصل پنجم اصلی است که از بقیه نتیجه می شود
بعد فهمید در ریاضی جملاتی هستند که که با اصول اقلیدسی جور در نمیایند
زاویه
ناحیه : همه نقاطی از صفحه که بتوانند آنها را دو به دو بهم وصل کنند بدون اینکه خط بین نواحی را قطع کنند ناحبه می گویند
دو خط متقاطع صفحه را به چهار ناحیه تقسیم می کنند . به هر ناحیه یک زاویه می گویند.
واحد های اندازه گیری مختلفی داریم و برای زاویه ما فقط یک سری واحد داریم نه عدد
زاویه قائمه : دو خطی که همدیگر را در صفحه قطع می کنند ناحیه های همنهشت به وجود بیاورند .
زاویه نیم صفحه : 1 خط در صفحه دو ناحیه همنهشت به وجود بیاورد .
مثلث : اگر سه تا نقطه در یک خط نباشند و هر خطی که دو نقطه را بهم وصل می کند یک ضلع مثلث است و مثلث ایجاد می شود
همنهشت : برابری دو شکل که به سه شکل نشان می دهد :
انتقال
انعکاس
دوران
اگر با این سه حرکت شکل ها برابر و نقطه به نقطه و ضلع به ضلع روی هم بیفتند این دو شکل همنهشتند
ولی بجای اینکه این کار ها را بکنیم می توانیم با اندازه گیری ضلع و زاویه این کار را انجام بدهیم
اگر دو زاویه و یک ضلع دو مثلث برابر باشند دو شکل همنهشتند یا 3 ضلع مثلث یا دو ضلع و 1 زاویه
برای تشکیل یک مثلث جمع دو ضلع کوچکتر مثلث باید از ضلع بزرگتر ، بزرگتر باشند .
ض ز ض یک اصل است چون همیشه در بحث همنهشتی درست جواب می دهد .
حالا ما می خواهیم ض ض ض و ز ض ز را با ض ز ض ثابت کنیم . قرار است برسیم به زاویه های محدب و مقعر ...
پنج جمله اقلیدس را اصول کردیم و نیازی به اثبات ندارند ولی با افسانه فرق دارند چون در واقعیت قابل دیدن هستند .
با همین جملات ما سعی کردیم مثلث را تعریف کنیم و درباره همنهشتی مثلث هم صحبت کردیم .
گفتیم می توانیم با دوران و انتقال و انعکاس می توانیم همنهشتی اشکال را ثابت کنیم . ولی چون سخت بود تصمیم گرفتیم از زاویه ها و اضلاع استفاده کنیم . به رابطه ض ز ض رسیدیم و قرار است با استفاده از آن دو گزاره ض ض ض و ز ض ز را ثابت کنیم .
پاره خط واصل : پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می کند .
* مجموع اضلاع باید 180 درجه باشد .
رابطه ز ز ز نمی شود چون ممکن است ما سه تا مثلث داشته باشیم که زاویه های آنها یکی است ولی اندازه اضلاع آنها یکی نیستند و همنهشت نیستند .
وقتی ما یکی از اضلاع را می کشیم و بعد با رسم دو دایره با شعاع اضلاع دیگر دو نقطه به وجود می آید . که می توانیم با یکی از آن نقاط به همراه دو سر پاره خط یک مثلث بکشیم . می توانیم بگوییم این دو نقطه با پاره خط واصل به سر و ته پاره خط می چسبند و دو مثلث می سازند . می توانیم از این دو نقطه یک خط بکشیم و آن دو مثلث را با استفاده از خط جدید و در نظر نگرفتن پاره خط اول دو مثلث جدید که متساوی الساقین هستند به وجود بیاوریم . این دو مثلث بسیار مجهول هستند .
در مثلث متساوی الساقین وقتی نیمساز مثلث را کشیدیم دو مثلث مساوی به وجود می آید بعد می بینیم که یکی از زاویه ها و دو زاویه دیگر با هم برابرند و در عین حال سه ضلع هم مساوی اند پس گزاره ض ض ض را اثبات کردیم .
نکته : هیچوقت از خط کش برای رابطه ض ض ض استفاده نکنید چون نقش خط کش تنها و تنها کشیدن خط راست است .
عکس نقیض : اگر X + Y مخالف 180 درجه باشد آنگاه دو خط امتداد دهنده آن دو موازی نیستند = > اگر دو خط امتداد دهنده زاویه ها موازی باشند آنگاه X + Y = 180 است به گزاره ای که در آن جای دو عنصر گزاره اول عوض شود و همزمان گزاره اول را نقیض* کند عکس نقیض می گوئیم .
رابطه ز ض ز : ما بک صلع داریم آن را می کشیم . از یک طرف N درجه داریم که امتداد آن را می کشیم . از یک طرف دیگر M درجه داریم که امتداد آن را می کشیم .
نکته : اگر دو زاویه داده شده مضربی از 180 باشد مثلث تشکیل نمی شود.
اگر دو زاویه را بکشیم امکان دارد این طرف خط شکلی تشکیل نشود اما با امتداد ضلع زاویه ممکن است این ور خط زاویه تشکیل می شود .
چطور ثابت کنیم اگر دو خط مورب را امتداد دهیم همدیگر را قطع می کنند؟
اگر دو زاویه مجموعشان برابر 180 باشد امتداد دو زاویه با هم موازی هستند . پس اگر مجموع زوایا != 180 باشند امتداد دو زاویه در یک جائی همدیگر را قطع می کنند .
نقیض کردن : گزاره اول اگر گزاره دوم آن نادرست باشد درست خواهد بود و در غیر این صورت نادرست است .
